【補足】付加年金、何年で元が取れる?

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 アル中ピカチュウだチュウ!突然だけどみなさん!付加年金って知ってるチュウ?毎月 400 円を年金として多く払うともらう側に回ったときに、その分多くの年金がもらえる制度のことチュウね。今回はこの付加年金について表題の疑問を考えてみるチュウ!

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付加年金とは?

 まずは付加年金について復習するチュウ!ななみんこと滝沢ななみの本では、付加年金を次のように紹介しているチュウね:

 付加年金とは、第一号保険者のみの制度で、任意で月額 400円を国民年金保険料に上乗せして納付することによって、「付加年金の納付月数 × 200円」が老齢基礎年金に加算されます。

滝沢ななみ『みんなが欲しかった! FPの教科書 3級』(TAC出版)

 ここで今回の記事に関連するポイントは、月額 400 円を上乗せすると、年額 “付加年金の納付月数 × 200 円” が(老齢基礎)年金に乗ってくることチュウ。

具体的な例

 感覚をつかむために、ななみんこと滝沢ななみの本に書かれている例を見てみるチュウ!次のような例が紹介されているチュウね(これは本文通りの引用ではないチュウ!):

 保険料納付済期間が 34 年のアル中ピカチュウは、付加年金をうち 15 年間積み立てていた。したがって、老齢年金に上乗せされる付加年金分は 200 円×12×15=36,000 円である。一方、積み立てた付加年金の総額は 400 円×12×15=72,000 円なので、付加年金は 2 年で元が取れる(?)ことになる。

同(引用の際に本文を改変)。

 最後の「なので」を当然と思える人間、違和感を感じる人間、どちらも鋭いチュウね。こういう書き方を数学の文脈ですると「具体的な例を一つ調べただけなのに、どうしてどんな場合でも 2 年で元が取れることが言えるチュウ?」とツッコミを受けて炎上するチュウ・・・。

 話が逸れたチュウ。さて、少なくともこの例では 2 年で元が取れることが分かったチュウね。では、積み立てる年数や受給期間が変わる(早死にする、あるいは長生きする)場合は何年で元が取れると言えるだろうか?考えてみるチュウ!

元を取るには?

 さて、上に引用した具体例に限らず、より一般の状況について「元を取るためには何年の受給期間が必要か?」ということを、どんな状況でも元を取ることに必死なアル中ピカチュウが考えてみるチュウ!まず付加年金を \( y_{\text{積立}} \) 年積み立てるとするチュウね(これは月に直すと \( 12 \times y_{\text{積立}} \) 月チュウ!)。付加年金とは月額 400 円を積み立てる制度だったので、このとき、積み立てる総額

\[ 400 \times 12 \times y_{\text{積立}} \, \text{円} \tag{1} \]

になるチュウ。

 次に年金を受給する側に回ったときのことを考えるチュウ。積み立てたのは \( 12 \times y_{\text{積立}} \) 月だったので、一年当たりに老齢基礎年金に加算される付加年金分の額は \( 200 \times 12 \times y_{\text{積立}} \) 円になるチュウね。この受給を \( y_{\text{受給}} \) 年続けたとすると、付加年金に対応した受給総額

\[ 200 \times 12 \times y_{\text{積立}} \times y_{\text{受給}} \, \text{円} \tag{2} \]

チュウね。ついてきているチュウ?

 最後に、積み立てた総額と受け取る総額の差を考えるチュウ!式 (2) から式 (1) を引くと

\[ 200 \times 12 \times y_{\text{積立}} \times y_{\text{受給}} – 400 \times 12 \times y_{\text{積立}} \, \text{円} \]

になるチュウね。因数分解できそうなのでやってみるチュウ:

\[ 200 \times 12 \times y_{\text{積立}} ( y_{\text{受給}} – 2 ) \, \text{円} \,\, . \]

 これが 0 以上であれば「付加年金の元を取った」ことが言えるチュウね(受け取る総額が支払った総額を下回らないので)。かっこ以外の部分は既に全部 0 より大きいので、結局

\[ y_{\text{受給}} \geq 2 \, \text{年} \tag{3} \]

が元を取るために必要かつ十分な条件チュウね。この最終結果の式 (3) には \( y_{\text{積立}} \) が出てきていないので「積み立て年数に依ることなく、必ず 2 年で元が取れることが分かったチュウ!嬉しいチュウ!!

その他適当

 なぜ結果が積み立て年数に依らないのか?それは積み立て総額も受給総額も、積み立て年数で評価されるからチュウね。これによって差額から積み立て年数 \( y_{\text{積立}} \) をくくり出す(=差額を因数分解して、積み立て年数 \( y_{\text{積立}} \) をくくり出す)ことができて、最後の不等式から積み立て年数 \( y_{\text{積立}} \) を落とすことができたチュウ!

 なぜ「2 年」で元が取れるのか?それは差額に \( y_{\text{受給}} – 2 \) の因子が出てきたからチュウね。この 2 という数字は、付加年金の制度において「月額 400 円を積み立てる」ことと「積み立てた月当たり 200 円」が加算されることに由来しているチュウ!これらの数値が 2 倍だけ違うことに対応しているチュウね。もしこれらが 4 倍違っていたら、元を取るためには 4 年必要ということになるチュウ。

まとめ!

 「付加年金は積み立て年数に依らずに 2 年で元が取れる」ことを、ななみんこと滝沢ななみの本の例を一般的に考えることで示したチュウ!

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