【補足】6 つの係数の簡便な計算法(その①:導入と具体例)

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 久しぶりの更新だチュウ!FP の試験が中止になったり別のことでバタバタしたりでとても久しぶりチュウね。あまりに久しぶりなので今回は中ピカの趣味に走った記事を書くチュウけど、結論はとても有用な式なのでそれだけでも見ていってほしいチュウ!(たとえば、この記事のまとめ部分とか!)

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目的

 ほとんどの読者にとっては結論までに至る過程に興味がないと思うので、まずは目的を説明するチュウ!資金計画の 6 つの係数についてまとめた記事を覚えているチュウ?第一章「ライフプランニングと資金計画」に関する一番最初の記事で 6 つの係数に簡単に触れた後で、補足として一連の記事で 6 つ全部の係数を導出したチュウね!(込み入った記事だったので誰も読んでないと思うチュウ!)けれど、実際の計算で関数電卓を叩くのは面倒なので、機能が大きく制限されている普通の電卓、あるいは場合によっては手計算だけでだいたいの金額を算出できるような式を導出することが、今回の一連の記事の目的チュウ!

たとえば:問題点

 具体例として、借入金を少しずつ返していくときに役立つ減債基金係数は次の一般式で表されたチュウね!(\( r \):金利、\( n \):年数)

\[ k_4 = \frac{r}{(1+r)^n – 1} \]

参考書には金利が \( r = 1, 2, \dots, 5 \, \text{%} \) で、しかも返済期間が \( n = 5 \) 年の場合の具体的な数値しか載っていなかったけれど、実際に資金計画を立てようと思ったときにはこれだと足りないチュウね。たとえば、2000 万円を借りて、それを固定金利 \( r = 1 \)% で 20 年かけて返そうと思ったときに、資金計画を立てるにはこの表は役に立たないチュウ!

 そういうときに上の式を知っていると、\( r = 1 \, \text{%} = 0.01 \) と \( n = 20 \) 年を代入すれば、欲しい係数が出てくるチュウ!具体的には、この場合の減債基金係数は

\[ k_4 = \frac{0.01}{(1+0.01)^{20} – 1} = 0.04542 \]

なので、毎年返すべき額は

\[ 2000 \times 0.04542 = 90.83 \, \text{万円} \]

と計算することができるチュウ!けれど上の式を一回で計算するには、普通の電卓だと厳しいチュウね。関数電卓を持っていれば簡単にできるけれど、願わくは短時間の手計算だけでできたら嬉しいと思うのが、人間というものチュウ・・・。

たとえば:解決策

 そこで上の \( k_4 \) で表される減債基金係数は、次の近似式(正確ではないが、だいたい近い結果を与える式)が使えることが知られているチュウ!

\[ k_4 \simeq \frac{1}{n} – \frac{(n-1)}{2n} r \,\, . \]

ここで記号 \( \simeq \) は「だいたい等しい」の意味で使っているチュウ!これに、上と同じ \( r = 1 \, \text{%} = 0.01 \) と \( n = 20 \) 年を代入すると

\[ k_4 \simeq 0.04525 \]

となるので(累乗がなくなったので、これなら手計算でもできるチュウ!)、毎月の返済額が

\[ 2000 \times 0.04525 = 90.55 \, \text{万円} \]

と算出できるチュウ!これを上の正確な結果(90.83 万円)と比較すると、だいたい 90 万円というのが一致してなかなか良い結果だと思うチュウ!

まとめ!

 資金計画を立てる際に用いる 6 つの係数は、どれも年数 \( n \) に関して累乗(右肩に乗っている部分)が含まれていて関数電卓がないと計算するのが面倒(終価係数と原価係数はすぐにできるけれど)。しかし、例えば減債基金係数については

\[ k_4 = \frac{r}{(1+r)^n – 1} \simeq \frac{1}{n} – \frac{(n-1)}{2n} r \]

という近似式があり、これを使うと手計算でも目的の数値を計算できるようになる。しかも、結果として得られる数値は正確な数値にかなり近い(先に言っておくと、金利 \( r \) が大きくなればなるほどこの近似は精度が落ちる)。

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